Răspuns :
Din teorema sinusurilor stim ca
[tex]\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R[/tex]
De unde rezulta ca
[tex]a=2R\sin{A}[/tex]
[tex]b=2R\sin{B}[/tex]
[tex]c=2R\sin{C}[/tex]
Atunci prima ecuatie devine
[tex]2R\sin{A}+2R\sin{B}=4R\sin{C}[/tex] impartim prin 2R
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2\sin{C}=\sqrt{3}\Rightarrow \sin{C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=60[/tex]
Mai stim ca
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}[/tex]
Mai stim ca toate unghiurile unui triunghi fac 180 grade, pi
[tex]A+B+C=\pi\Rightarrow C=\pi-(A+B)[/tex]
Si mai stim ca in general
[tex]\cos{(\pi-x)}=\cos{x}[/tex]
Atunci
[tex]\cos{C}=\cos{\pi-(A+B)}=-\cos{(A+B)}=\cos{60}\Rightarrow \cos{(A+B)}=-\frac{1}{2}[/tex]
Mai stim urmatoarea relatie
[tex]\sin{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{2}}[/tex] atunci
[tex]\sin{\frac{A+B}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{(A+B)}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Inlocuim in ecuatia de mai sus
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2*\frac{\sqrt{3}}{2}*\cos{\frac{(A-B)}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \cos{\frac{(A-B)}{2}}=1\Rightarrow \frac{A-B}{2}=0\Rightarrow A=B[/tex]
Rezulta ca triunghiul ABC este isoscel.Dar stim ca unghiul C are 60 de grade, ceea ce inseamna ca ABC este echilateral.
[tex]\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R[/tex]
De unde rezulta ca
[tex]a=2R\sin{A}[/tex]
[tex]b=2R\sin{B}[/tex]
[tex]c=2R\sin{C}[/tex]
Atunci prima ecuatie devine
[tex]2R\sin{A}+2R\sin{B}=4R\sin{C}[/tex] impartim prin 2R
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2\sin{C}=\sqrt{3}\Rightarrow \sin{C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=60[/tex]
Mai stim ca
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}[/tex]
Mai stim ca toate unghiurile unui triunghi fac 180 grade, pi
[tex]A+B+C=\pi\Rightarrow C=\pi-(A+B)[/tex]
Si mai stim ca in general
[tex]\cos{(\pi-x)}=\cos{x}[/tex]
Atunci
[tex]\cos{C}=\cos{\pi-(A+B)}=-\cos{(A+B)}=\cos{60}\Rightarrow \cos{(A+B)}=-\frac{1}{2}[/tex]
Mai stim urmatoarea relatie
[tex]\sin{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{2}}[/tex] atunci
[tex]\sin{\frac{A+B}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos{(A+B)}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Inlocuim in ecuatia de mai sus
[tex]\sin{A}+\sin{B}=2*\frac{\sqrt{3}}{2}*\cos{\frac{(A-B)}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \cos{\frac{(A-B)}{2}}=1\Rightarrow \frac{A-B}{2}=0\Rightarrow A=B[/tex]
Rezulta ca triunghiul ABC este isoscel.Dar stim ca unghiul C are 60 de grade, ceea ce inseamna ca ABC este echilateral.
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Ne bucurăm dacă informațiile v-au fost de folos. În cazul în care aveți întrebări suplimentare sau doriți sprijin adițional, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne onorează, iar dacă apreciați conținutul nostru, vă invităm să ne salvați în lista de site-uri preferate!